Loi et espérance

La gestionnaire d'un cinéma s'intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu'à leur consommation au rayon « friandises ». Une étude sur plusieurs mois a montré que \(40\)  % des spectateurs sont allés voir un film d'action, \(35\)  % un dessin animé et les autres une comédie.
Parmi les spectateurs allant voir un film d'action, la moitié achètent des friandises, alors qu'ils sont \(80\)  % pour ceux allant voir un dessin animé et \(70\)  % pour ceux allant voir une comédie.

On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :

• \(\text A\)  l'événement : « Le spectateur a vu un film d'action » ;
  
• \(\text D\)  l'événement : « Le spectateur a vu un dessin animé » ;
  
• \(\text C\)  l'événement : « Le spectateur a vu une comédie » ;
  
• \(\text F\)  l'événement : « Le spectateur a acheté des friandises ».
  

1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous représentant la situation.

2. Démontrer que  \(P\left(\text F\right) = 0,655\) .

3. On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu'il ait vu un dessin animé ? On donnera l'arrondi à \(10^{-3}\) .

4. Une place de cinéma coûte \(10\)  €. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense \(18\)  € pour sa place de cinéma et ses friandises.
On note \(X\)  la variable aléatoire donnant le coût d'une sortie au cinéma pour un spectateur.
    a. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) .
    b. En déduire le coût moyen par spectateur d'une sortie dans ce cinéma.

Exercice issu du sujet d'E3C de mathématiques G1SSMAT02661